Question

已知f（x）是定义域为R的奇函数，当a∈R时f（a）+f（a-2）=f（0）恒成立，则下列结论：
（1）f（x+2）=f（-x）；
（2）f（-6）=0；
（3）f（x）的图象关于直线x=0对称；
（4）f（2-2x）是周期为2的周期函数．
其中正确结论的序号是

（1）（2）（4）

．

Answer 1

分析：由f（x）是定义域为R的奇函数，当a∈R时f（a）+f（a-2）=f（0）恒成立，可求得f（a-4）=f（a），利用周期函数的性质可对（1）（2）（3）（4）作出判断．

解答：解：∵f（x）是定义域为R的奇函数，
∴f（0）=0，
又f（a）+f（a-2）=f（0）=0，
∴f（a-2）=-f（a），
∴f（x-2）=-f（x）①
∴f[（x-2）-2]=-f（x-2）=f（x），
∴f（x）是以4为周期的周期函数．
∴f（x-2）=f（x+2），②
由①②得
∴得f（x+2）=-f（x）=f（-x），故（1）正确；
对于（2），∵f（a）+f（a-2）=f（0）=0，
∴f（2）+f（2-2）=f（0）=0，
∴f（2）=0，而f（x）是以4为周期的奇函数，
∴f（-6）=-f（6）=f（4+2）=f（2）=0，故（2）正确；
∵f（x）是定义域为R的奇函数，不是偶函数，
∴f（x）的图象关于直线x=0对称是错误的，即（3）错误；
对于（4），f（x）是以4为周期的奇函数，
∴f[2-2（x-2）]=f[（2-2x）+4]=f（2-2x），即f（2-2x）是周期为2的周期函数，正确．
综上所述，正确结论的序号是（1）（2）（4）．
故答案为：（1）（2）（4）．

点评：本体考查函数的周期性，由题意得到f（a-4）=f（a），即f（x）是周期为4的周期函数是关键，属于中档题．