Question

若向量

a

=（

3

，cos²x+

m

2

），

b

=（sin2x，2）．
（1）当x∈[0，

π

2

]时

a

•

b

的最大值为6，求m的值；
（2）设f（x）=

a

•

b

，当x∈R时，求f（x）的最小值及对应的x的取值集合．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,三角函数的求值,平面向量及应用

分析：（1）运用向量的数量积的坐标公式和二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式，再由正弦函数的最值性质，即可求得m；
（2）由（1）得到f（x）的函数式，再由正弦函数的最值性，即可得到最小值和相应x的集合．

解答： 解：（1）向量

a

=（

3

，cos²x+

m

2

），

b

=（sin2x，2），
则

a

•

b

=

3

sin2x+2cos²x+m
=

3

sin2x+cos2x+1+m=2sin(2x+

π

6

)+1+m，
由于0≤x≤

π

2

，即0≤x≤π，则

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
则有当2x+

π

6

=

π

2

即x=

π

6

时，则有sin(2x+

π

6

)最大值为1．
故由

a

•

b

的最大值为6，即6=2+1+m，解得m=3；
（2）由（1）得，f(x)=2sin(2x+

π

6

)+4，
当x∈R，f（x）的最小值为-2，
此时2x+

π

6

=2kπ-

π

2

即x的取值集合为{x|x=kπ-

π

3

(k∈Z)}．

点评：本题考查平面向量的数量积及运用，考查三角恒等变换公式的运用，考查正弦函数的性质和运用，考查运算能力，属于中档题．