Question

如图．在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=，AA₁=3，D是BC的中点，点E在棱BB₁上运动．
（1）证明：AD⊥C₁E；
（2）当异面直线AC，C₁E 所成的角为60°时，求三棱锥C₁-A₁B₁E的体积．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据直三棱柱的性质，得AD⊥BB₁，等腰△ABC中利用“三线合一”证出AD⊥BC，结合线面垂直判定定理，得AD⊥平面BB₁C₁C，从而可得AD⊥C₁E；
（2）根据AC∥A₁C₁，得到∠EC₁A₁（或其补角）即为异面直线AC、C₁E 所成的角．由A₁C₁⊥A₁B₁且A₁C₁⊥AA₁，证出A₁C₁⊥平面AA₁B₁B，从而在Rt△A₁C₁E中得到∠EC₁A₁=60°，利用余弦的定义算出C₁E=2A₁C₁=2，进而得到△A₁B₁E面积为，由此结合锥体体积公式即可算出三棱锥C₁-A₁B₁E的体积．
解答：解：（1）∵直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥平面ABC，AD?平面ABC，∴AD⊥BB₁
∵△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC
又∵BC、BB₁?平面BB₁C₁C，BC∩BB₁=B
∴AD⊥平面BB₁C₁C，结合C₁E?平面BB₁C₁C，可得AD⊥C₁E；
（2）∵直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC∥A₁C₁，
∴∠EC₁A₁（或其补角）即为异面直线AC、C₁E 所成的角
∵∠BAC=∠B₁A₁C₁=90°，∴A₁C₁⊥A₁B₁，
又∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，可得A₁C₁⊥AA₁，
∴结合A₁B₁∩AA₁=A₁，可得A₁C₁⊥平面AA₁B₁B，
∵A₁E?平面AA₁B₁B，∴A₁C₁⊥A₁E
因此，Rt△A₁C₁E中，∠EC₁A₁=60°，可得cos∠EC₁A₁==，得C₁E=2A₁C₁=2
又∵B₁C₁==2，∴B₁E==2
由此可得V=S_△×A₁C₁=×=
点评：本题给出直三棱柱的底面是等腰直角三角形，在已知侧棱长和底面边长的情况下证明线线垂直并求锥体的体积，着重考查了直棱柱的性质、空间线面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．