Question

17．已知f（x）是定义在[-2，2]上的函数，满足f（x+2）=-f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=2x-x²．
（1）求x∈[-2，0）时，f（x）的表达式；
（2）画出f（x）的图象．

Answer 1

分析 （1）利用f（x+2）=-f（x），可由x∈[0，2]时的解析式求x∈[-2，0]时的解析式；
（2）配方，即可画出函数的图象．

解答 解：（1）因为x∈[0，2]时，f（x）=2x-x²，
所以x∈[-2，0]时，x+2∈[0，2]，
则f（x+2）=2（x+2）-（x+2）²
=-x²-2x，x∈[-2，0]
又f（x+2）=-f（x），
所以f（x）=x²+2x，x∈[-2，0]．
（2）x∈[0，2]时，f（x）=2x-x²=-（x-1）²+1
求x∈[-2，0）时，f（x）=x²+2x=（x+1）²-1．
如图所示

点评 本题综合考查函数奇偶性与周期性知识的运用，考查学生的作图能力，属于中档题．