Question

过点（0，-1）作直线l与圆x²+y²-2x-4y-20=0交于A，B两点，如果|AB|=8，则直线l的方程为（　　）

A．3x+4y+4=0

B．3x-4y-4=0

C．3x+4y+4=0或y+1=0

D．3x-4y-4=0或y+1=0

Answer 1

分析：设过（0，-1）的直线l的方程为x=m（y+1），可知x²+y²-2x-4y-20=0的圆心P的坐标与圆的半径r，利用圆心P到l的距离d，弦长之半

1

2

|AB|，与r构成的直角三角形即可求得m的值，继而可求得直线l的方程．

解答：解：设过（0，-1）的直线l的方程为x=m（y+1），
∵x²+y²-2x-4y-20=0的圆心P（1，2），半径r=

1

2

4+16-4×(-20)

=

1

2

×10=5，
设圆心P到l的距离为d，则d=

|1-3m|

12+m2

，
又|AB|=8，
∴

1

2

|AB|=4，
∵弦心距d，弦长之半

1

2

|AB|，与r构成的直角三角形，r为斜边，
∴d²+16=25，
∴d²=

(1-3m)2

1+m2

=9，
解得m=-

4

3

．
∴l的方程为：3x+4y+4=0；
若l的方程为y=-1时，圆心P（1，2）到l的距离d=2-（-1）=3，
显然，弦心距d=3，弦长之半

1

2

|AB|=4，与r=5构成直角三角形，满足题意，
故直线l的方程为3x+4y+4=0或y+1=0；
故选C．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，着重考查弦心距d，弦长之半

1

2

|AB|，与r构成的直角三角形的应用，考查转化与方程思想及运算能力，属于中档题．