Question

（2012•湛江二模）已知抛物线y²=mx（m＞0，m为常数）的焦点是F（1，0），P（x₀，y₀）是抛物线上的动点，定点A（2，0）．
（1）若x₀＞2，设线段AP的垂直平分线与x轴交于Q（x₁，O），求x₁的取值范围；
（2）是否存在垂直于x轴的定直线l，使以AP为直径的圆截l得到的弦长为定值？若存在，求其方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线y²=mx（m＞0，m为常数）的焦点是F（1，0），确定抛物线方程，进而求出线段AP的垂直平分线方程，令y=0，可得x1=4+

4

x0-2

+

x0-2

2

，利用基本不等式可确定x₁的取值范围；
（2）假设存在所求直线l为x=n，先确定AP的中点M（圆心）到l的距离d=|1+

x0

2

-n|，半径为r=

1

2

x02+4

，进而可得弦长，由此可得结论．

解答：解：（1）∵抛物线y²=mx（m＞0，m为常数）的焦点是F（1，0），
∴m=4，∴抛物线方程是y²=4x
∵P（x₀，y₀）是抛物线上的动点，定点A（2，0）．
∴y02=4x0，kAP=

y0

x0-2

∴线段AP的垂直平分线方程为y-

y0

2

=-

x0-2

y0

(x-

x0+2

2

)
令y=0，可得x1=4+

4

x0-2

+

x0-2

2

∵x₀＞2，∴x₀-2＞0，
∴x1≥4+2

4 x0-2 × x0-2 2

 =4+2

2

（当且仅当x0=2+2

2

时取等号）
∴x₁的取值范围是[4+2

2

，+∞）；
（2）假设存在所求直线l为x=n，AP的中点M（圆心）到l的距离d=|1+

x0

2

-n|
半径为r=

1

2

x02+4

弦长为d02=4(r2-d2)=4x0(n-1)+8n-4n2
若弦长为定值，则n-1=0
∴n=1
此时d＜r，圆M恒与直线x=1相交，且截得弦长恒为2．

点评：本题考查抛物线的标准方程，考查基本不等式的运用，考查存在性问题的探究，解题的关键是利用垂径定理表达出弦长．