Question

如图，圆C：x²-（1+a）x+y²-ay+a=0．
（Ⅰ）若圆C与x轴相切，求圆C的方程；
（Ⅱ）已知a＞1，圆C与x轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧）．过点M任作一条直线与圆O：x²+y²=4相交于两点A，B．问：是否存在实数a，使得∠ANM=∠BNM？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在圆的方程中，令y=0，可得关于x的一元二次方程的判别式等于零，由此求得a的值，从而求得所求圆C的方程．
（Ⅱ）先求出所以M（1，0），N（a，0），假设存在实数a，当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k（x-1），代入x²+y²=4，利用韦达定理，根据NA、NB的斜率之和等于零求得a的值．经过检验，当直线AB与x轴垂直时，这个a值仍然满足∠ANM=∠BNM，从而得出结论．

解答：（Ⅰ）因为由

y=0 x2-(1+a)x+y2-ay+a=0

可得x²-（1+a）x+a=0，
由题意得△=（1+a）²-4a=（a-1）²=0，所以a=1，
故所求圆C的方程为x²-2x+y²-y+1=0．
（Ⅱ）令y=0，得x²-（1+a）x+a=0，即（x-1）（x-a）=0，求得x=1，或x=a，
所以M（1，0），N（a，0）．
假设存在实数a，当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k（x-1），
代入x²+y²=4得，（1+k²）x²-2k²x+k²-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），从而x1+x2=

2k2

1+k2

，x1x2=

k2-4

1+k2

．
因为NA、NB的斜率之和为

y1

x1-a

+

y2

x2-a

=

k[(x1-1)(x2-a)+(x2-1)(x1-a)]

(x1-a)(x2-a)

，
而（x₁-1）（x₂-a）+（x₂-1）（x₁-a）=2x₁x₂-（a+1）（x₂+x₁）+2a=2

k2-4

1+k2

-(a+1)

2k2

1+k2

+2a=

2a-8

1+k2

，
因为∠ANM=∠BNM，所以，NA、NB的斜率互为相反数，

y1

x1-a

+

y2

x2-a

=0，即

2a-8

1+k2

=0，得a=4．
当直线AB与x轴垂直时，仍然满足∠ANM=∠BNM，即NA、NB的斜率互为相反数．
综上，存在a=4，使得∠ANM=∠BNM．

点评：本题主要考查求圆的标准方程，直线和圆的位置关系，直线的倾斜角和斜率，属于中档题．