Question

(09·江苏文)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C₁：(x＋3)²＋(y－1)²＝4和圆C₂：(x－4)²＋(y－5)²＝4

(1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C₁截得的弦长为2，求直线l的方程；

(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l₁和l₂，它们分别与圆C₁和圆C₂相交，且直线l₁被圆C₁截得的弦长与直线l₂被圆C₂截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．

Answer 1

[解析]　(1)由于直线x＝4与圆C₁不相交，所以直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－4)，圆C₁的圆心C₁(－3,1)到直线l的距离为

因为直线l被圆C₁截得的弦长为2，

即k＝0或k＝－，

所以直线l的方程为y＝0或7x＋24y－28＝0

(2)设点P(a，b)满足条件，不妨设直线l₁的方程为y－b＝k(x－a)，k≠0，则直线l₂的方程为，因为C₁和C₂的半径相等，及直线l₁被圆C₁截得的弦长与直线l₂被圆C₂截得的弦长相等，所以圆C₁的圆心到直线l₁的距离和圆C₂的圆心到直线l₂的距离相等，

这样点P只可能是点

经检验点P₁和P₂满足题目条件．