Question

观察下列不等式：
①

1

1×2

＜1；
②

1

1×2

+

1

2×3

＜

2

；
③

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

＜

3

；…
则第5个不等式为

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

+

1

5×6

＜

5

．

Answer 1

分析：逐一分析题目给出的前三个不等式的特点，寻找出共性：即第n个不等式左边是n项的和，每一项的分子都为1，分母是根号内相邻两个自然数的乘积，右边为n的算术根．

解答：解：不等式①的左边仅含一项，分子为1，分母是根号内的前两个正的自然数的乘积，右边为1的算术根；
不等式②的左边含有两项，分子都为1，分母分别是根号内第一、第二个正的自然数的积，根号内第二、第三个正的自然数的积，右边为2的算术根；
不等式③的左边含有三项，分子都为1，分母分别是根号内第一、第二个正的自然数的积，根号内第二、第三个正的自然数的积，根号内第三、第四个正的自然数的积，右边为3的算术根；
类比以上不等式，得
第五个不等式的左边含有五项，分子都为1，分母分别是根号内第一、第二个正的自然数的积，根号内第二、第三个正的自然数的积，根号内第三、第四个正的自然数的积，根号内第四、第五个正的自然数的积，根号内第五、第六个正的自然数的积，右边为5的算术根．
即：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

+

1

5×6

＜

5

．
故答案为：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

+

1

5×6

＜

5

．

点评：本题考查了类比推理，类比推理就是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理．此题是基础题．