Question

某车间有200名工人，要完成6000件产品的生产任务，每件产品由3个A型零件和1个B型零件配套组成．每个工人每小时能加工5个A型零件或者1个B型零件，现在把这些工人分成两组同时工作（分组后人数不再进行调整），每组加工同一种型号的零件．设加工A型零件的工人人数为x名（x∈N^*）．
（1）设完成A型零件加工所需时间为f（x）小时，完成B型零件加工所需时间为g（x）小时，写出f（x），g（x）的解析式；
（2）当A、B两种零件全部加工完成，就算完成工作．全部完成工作所需时间为H（x）小时，写出H（x）的解析式；
（3）为了在最短时间内完成工作，x应取何值？

Answer 1

分析：（1）根据题意．6000件产品生产任务中由3个A型零件，总数为6000×3，加工A型零件的工人每小时加工零件数为5x，二者相除即可求得f（x）的解析式；6000件产品生产任务中由1个B型零件，总数为6000，加工B型零件的工人每小时加工零件数为200-x，二者相除即可求得g（x）的解析式．
（2）令f（x）-g（x）＞0，解可得x的范围，进而可推断当0＜x＜75时，H（x）即是生产A零件的时间，当75≤x＜200时，
H（x）即为生产B零件所用的时间．
（3）问题实际是求函数H（x）的最小值，先看0＜x＜75时f（x）的最小值为

3600

75

，当75≤x＜200时g（x）的最小值为

6000

200-75

，可知当x=75时，H（x）有最小值．

解答：解：（1）f(x)=

6000×3

5x

=

3600

x

(0＜x＜200，x∈N*)，g(x)=

6000

200-x

(0＜x＜200，x∈N*)．
（2）令

3600

x

-

6000

200-x

=

9600(75-x)

x(200-x)

＞0，得0＜x＜75
故H(x)=

3600 x        0＜x＜75 6000 200-x       75≤x＜200

x∈N*
（3）即求函数H（x）的最小值；
当0＜x＜75时，

3600

x

＞

3600

75

=48，
当75≤x＜200时，

6000

200-x

≥

6000

200-75

=48，
故当x=75时H（x）的最小值为48．
综上，为了在最短时间内完成工作，x应取75．

点评：本题主要考查了根据实际问题选择函数类型的问题．解题的关键是根据题意求得函数的解析式．