Question

已知曲线的方程为：（，为常数）.

（1）判断曲线的形状；

（2）设曲线分别与轴、轴交于点、（、不同于原点），试判断的面积是否为定值？并证明你的判断；

（3）设直线与曲线交于不同的两点、，且，求曲线的方程.

 

Answer 1

（1）圆；（2）详见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）在曲线的方程两边同时除以，并进行配方得到，从而得到曲线的具体形状；（2）在曲线的方程中分别令与求出点、的坐标，再验证的面积是否为定值；（3）根据条件得到圆心在线段的垂直平分线上，并且得到圆心与原点的连线与直线垂直，利用两条直线斜率乘积为，求出值，并利用直线与圆相交作为检验条件，从而确定曲线的方程.

试题解析：（1）将曲线的方程化为，

可知曲线是以点为圆心，以为半径的圆；

（2）的面积为定值.

证明如下：

在曲线的方程中令得，得点，

在曲线方程中令得，得点，

（定值）；

（3）圆过坐标原点，且，

圆心在的垂直平分线上，，，

当时，圆心坐标为，圆的半径为，

圆心到直线的距离，

直线与圆相离，不合题意舍去，

，这时曲线的方程为.

考点：1.圆的方程；2.三角形的面积；3.直线与圆的位置关系.