Question

（08年广东佛山质检理）抛物线的准线的方程为，该抛物线上的每个点到准线的距离都与到定点N的距离相等，圆N是以N为圆心，同时与直线 相切的圆，

（Ⅰ）求定点N的坐标；

（Ⅱ）是否存在一条直线同时满足下列条件：

① 分别与直线交于A、B两点，且AB中点为；

② 被圆N截得的弦长为．

Answer 1

解析:（1）因为抛物线的准线的方程为

所以，根据抛物线的定义可知点N是抛物线的焦点，             -----------2分

所以定点N的坐标为                              ----------------------------3分

（2）假设存在直线满足两个条件，显然斜率存在，                -----------4分

设的方程为，                   ------------------------5分

以N为圆心，同时与直线 相切的圆N的半径为， ----6分

方法1：因为被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，   -------7分

即，解得，                -------------------------------8分

当时，显然不合AB中点为的条件，矛盾！            --------------9分

当时，的方程为               ----------------------------10分

由，解得点A坐标为，               ------------------11分

由，解得点B坐标为，          ------------------12分

显然AB中点不是，矛盾！                ----------------------------------13分

所以不存在满足条件的直线．                 ------------------------------------14分

方法2：由，解得点A坐标为，      ------7分

由，解得点B坐标为，        ------------8分

因为AB中点为，所以，解得，     ---------10分

所以的方程为，

圆心N到直线的距离，                   -------------------------------11分

因为被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，矛盾！   ----13分

所以不存在满足条件的直线．               -------------------------------------14分

方法3：假设A点的坐标为，

因为AB中点为，所以B点的坐标为，         -------------8分

又点B 在直线上，所以，                ----------------------------9分

所以A点的坐标为，直线的斜率为4，

所以的方程为，                    -----------------------------10分

圆心N到直线的距离，                     -----------------------------11分

因为被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，矛盾！ ---------13分

所以不存在满足条件的直线．              ----------------------------------------14分