Question

7．已知函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}+cx+d，（{c，d∈R}）$，函数f（x）的图象记为曲线C．
（1）若函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，求c的取值范围；
（2）若函数y=f（x）-m有两个零点α，β（α≠β），且x=α为f（x）的极值点，求2α+β的值；
（3）设曲线C在动点A（x₀，f（x₀））处的切线l₁与C交于另一点B，在点B处的切线为l₂，两切线的斜率分别为k₁，k₂，是否存在实数c，使得$\frac{k_1}{k_2}$为定值？若存在，求出c的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 法一：（1）求出函数的导数，根据x=1是函数的最小值点，得到关于c的不等式，解出即可；
（2）求出c=-α²+2α，根据f（α）=f（β）得：$\frac{1}{3}（2α+β-3）{（α-β）^2}=0$，从而求出α和β的关系；
（3）求出函数f（x）的导数，得到x+2x₀-3=0，即B点的横坐标为3-2x₀所以过点B的曲线的切线斜率，根据k₁，k₂的值，作商即可．
法二：（1）求出函数的导数，分离参数c，根据函数的单调性求出c的范围即可；（2）根据根与关系判断即可；（3）分别求出k₁，k₂的值，作商即可．

解答 解法一：（1）f'（x）=x²-2x+c，当x∈[0，+∞）时f'（x）=x²-2x+c≥0
所以（x²-2x+c）_min≥0，而x²-2x+c在x=1处取得最小值，
所以1-2+c≥0，c≥1；…（4分）
（2）因为x=α为f（x）的极值点，
所以${k_1}=f'（α）={α^2}-2α+c=0$，所以c=-α²+2α，
又因为y=f（x）-m有不同的零点α，β，所以f（α）=f（β），
即$\frac{1}{3}{α^3}-{α^2}+cα+d=\frac{1}{3}{α^3}-{β^2}+cβ+d$，
整理得：$\frac{1}{3}（2α+β-3）{（α-β）^2}=0$，
所以2α+β=3．…（9分）
（3）满足条件的实数c存在，
由f'（x）=x²-2x+c，知过A（x₀，f（x₀））点与曲线相切的直线l₁为：y=f'（x₀）（x-x₀）+f（x₀），
且k₁=${{x}_{0}}^{2}$-2x₀+c，
将y=f'（x₀）（x-x₀）+f（x₀）与y=f（x）联立即得B点得横坐标，
所以f'（x₀）（x-x₀）+f（x₀）=f（x）
即：$\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}+cx+d=（x_0^2-2{x_0}+c）（x-{x_0}）+\frac{1}{3}x_0^3-x_0^2+c{x_0}+d$
整理得：$\frac{1}{3}（x+2{x_0}-3）{（x-{x_0}）^2}=0$由已知x≠x₀，所以x+2x₀-3=0
所以x=3-2x₀，即B点的横坐标为3-2x₀所以过点B的曲线的切线斜率为：
${k_2}=f'（x）=x_{\;}^2-2x+c$=${（3-2{x_0}）^2}-2（3-2{x_0}）+c$=$4（x_0^2-2{x_0}+c）+3-3c$=4k₁+3-3c
因此当且仅当 3-3c=0时，k₁、k₁成比例，这时c=1
即存在实数c=1，使$\frac{k_1}{k_2}$为定值．…（14分）
解法二：（1）f'（x）=x²-2x+c，当x∈[0，+∞）时f'（x）=x²-2x+c≥0，
所以c≥-（x²-2x）对任意的x∈[0，+∞）恒成立，故c≥[-（x²-2x）]_max，
即[-（x²-2x）]_max=1，故c的取值范围是[1，+∞）；…（4分）
（2）因为x=α为f（x）的极值点，且y=f（x）-m有两个零点α，β（α≠β），
所以f（x）-m=0的三个实数根分别为α，α，β，
由根与系数的关系得$α+α+β=2α+β=-\frac{-1}{{\frac{1}{3}}}=3$；…（9分）
（3）满足条件的实数c存在，因为f'（x）=x²-2x+c，
所以过A（x₀，f（x₀））点且与曲线C相切的直线l₁为：
y=f'（x₀）（x-x₀）+f（x₀），其中${k_1}=x_0^2-2{x_0}+c$．
设l₁与C交于另一点B（x₁，y₁），则x₀，x₀，x₁必为方程f（x）=f′（x₀）（x-x₀）+f（x₀）的三个实数根，
由f（x）=f′（x₀）（x-x₀）+f（x₀）得$\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}+cx+d=（x_0^2-2{x_0}+c）（x-{x_0}）+f（{x_0}）$，
因为上述方程的右边不含三次项和二次项，
所以${x_0}+{x_0}+{x_1}=-\frac{-1}{{\frac{1}{3}}}=3$，所以x₁=3-2x₀，
所以${k_2}={f^'}（{x_1}）=x_1^2-2{x_1}+c$=${（3-2{x_0}）^2}-2（3-2{x_0}）+c$=$4（x_0^2-2{x_0}+c）+3-3c$=4k₁+3-3c．
因此当且仅当 3-3c=0时，k₁、k₁成比例，这时c=1，即存在实数c=1，使$\frac{k_1}{k_2}$为定值．…（14分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及直线的斜率问题，考查转化思想，是一道综合题．