Question

5．设x₁、x₂是关于x的二次方程x²-2kx+1-k²=0的两个实根，k为实数，则$x_1^2+x_2^2$的最小值为（　　）

• A． -2
• B． -1
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 x₁，x₂是方程x²-2kx+1-k²=0的两个实数根，故方程有实数根，则△≥0，由此不难求出参数K的范围，而要求x₁²+x₂²的最小值可以先将x₁²+x₂²化为（x₁+x₂）²-2x₁•x₂的形式再利用韦达定理（即一元二次方程根与系数的关系）将其转化为关于K的不等式，进面求出x₁²+x₂²的最小值．

解答 解：∵x₁，x₂是方程x²-2kx+1-k²=0的两个实数根．
△=（2k）²-4（1-k²）=8k²-4≥0．
即k²≥$\frac{1}{2}$．
又∵x₁+x₂=2k，x₁•x₂=1-k²．
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=6k²-2≥1．
故x₁²+x₂²的最小值为1．
故选：C．

点评 代数的核心内容是函数，但由于函数、不等式、方程之间的辩证关系，故我们在解决函数问题是经常要用到方程的性质，其中韦达定理是最重要的方程的性质，需要好好学习．