Question

如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高为3，底面是边长为4且∠DAB=60°的菱形，A₁C₁∩B₁D₁=O₁，E是O₁A的中点.

(Ⅰ)求二面角O₁-BC-D的大小；

(Ⅱ)求点E到平面O₁BC的距离.

Answer 1

答案：解法—：(Ⅰ)过AC、BD的交点O作OF⊥BC于F,连接O₁F,

∵OO₁⊥面AC,∴BC⊥O₁F,∴∠O₁FO是二面角O₁-BC-D的平面角,

∵OB=2,∠OBF=60°,∴OF=.在Rt△O₁OF在tan∠O₁FO=,

∴∠O₁FO=60°即二面角O₁-BC-D为60° 

(Ⅱ)在△O₁AC中,OE是△O₁AC的中位线,∴OE∥O₁C,∴OE∥面O₁BC,

∵BC⊥面O₁OF,∴面O₁BC⊥面O₁OF,交线O₁F.过O作OH⊥O₁F于H,则OH是点O到面O₁BC的距离,∴OH=,∴点E到面O₁BC的距离等于. 

解法二：(Ⅰ)连AC、DB交于O,∵OO₁⊥平面AC,∴OO₁⊥OA,OO₁⊥OB,又OA⊥OB,

建立如图所示的空间直角坐标系(如图)

∵底面ABCD是边长为4,∠DAB=60°的菱形,∴OA=,OB=2,

则A(,0,0),B(0,2,0),C(-,0,0),O₁(0,0,3)设平面O₁BC的法向量为n₁=(x,y,z),

则n₁⊥,n₁⊥,∴则z=2,则x=,y=3,

∴n₁=(,3,2),而平面AC的法向量n₂=(0,0,3) 

∴cos〈n₁,n₂〉=

设O₁-BC-D的平面角为α,∴cosα=,∴α=60°.故二面角O₁-BC-D为60°.

(Ⅱ)设点E到平面O₁BC的距离为d,∵E是O₁A的中点,∴=(),

则d=

∴点E到面O₁BC的距离等于