Question

已知函数f(x)=

6cos4x+5sin2x-4

cos2x

，求f（x）的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域．

Answer 1

分析：求定义域只需分母不为0即可，奇偶性看f（-x）和f（x）的关系，求其值域需对函数进行恒等变形，统一成余弦，再用降幂公式即可．

解答：解：由cos2x≠0，得2x≠kπ+

π

2

，
解得x≠

kπ

2

+

π

4

，k∈Z．
所以f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠

kπ

2

+

π

4

，k∈Z}.
因为f（x）的定义域关于原点对称，
且f(-x)=

6cos4(-x)+5sin2(-x)-4

cos(-2x)

=

6cos4 x+5sin2 x-4

cos2x

=f(x)，
所以f（x）是偶函数．
当x≠

kπ

2

+

π

4

 ，k∈z时，
f(x)=

6cos4 x+5sin2 x-4

cos2x

=

(2cos2x-1)(3cos2x-1)

cos2x

=3cos2x-1，
所以f（x）的值域为{y|-1≤y＜

1

2

或

1

2

＜y≤2}．

点评：本题考查三角函数的恒等变形及三角函数的性质，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力．