Question

【题目】已知函数f（x）=ex﹣1﹣ ，a∈R．
（1）若函数g（x）=（x﹣1）f（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，求a的范围；
（2）当a≤﹣1时，证明：f（x）lnx＞0对于任意x∈（0，1）∪（1，+∞）成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：g（x）=（x﹣1）f（x）=（x﹣1）（ex﹣1）﹣ax，x∈（0，1），

g′（x）=xex﹣a﹣1，

由函数g（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，等价于g′（x）=xex﹣a﹣1在（0，1）上有且仅有一个变号零点，

令H（x）=xex﹣a﹣1，x∈[0，1]，

H′（x）=ex（x+1），由x∈[0，1]，H′（x）＞0，

H（x）在[0，1]单调递增，

∴H（0）=﹣a﹣1＜0，H（1）=e﹣a﹣1＞0，

解得：﹣1＜a＜e﹣1，

∴当﹣1＜a＜e﹣1时，函数g（x）在（0，1）上有且只有一个极值点

（2）证明：f（x）lnx=（ex﹣1﹣ ）lnx，只需证： lnx[（x﹣1）（ex﹣1）﹣ax]≥0 在 （0，1）∪（1，+∞） 上恒成立，

由x∈（0，1）∪（1，+∞） 时， lnx＞0恒成立，

∴只需证：（x﹣1）（ex﹣1）﹣ax≥0 在（0，+∞）恒成立，

设g（x）=（x﹣1）（ex﹣1）﹣ax，x∈[0，+∞），

由g（0）=0 恒成立，

∴只需证：g（x）≥0 在[0，+∞），恒成立 g′（x）=xex﹣1﹣a，

g″（x）=（x+1）ex＞0恒成立，

∴g′（x）单调递增，g′（x）≥g′（0）=﹣1﹣a≥0，

∴g（x）单调递增，g（x）≥g（0）=0，

∴g（x）≥0 在[0，+∞）恒成立，

∴f（x）lnx＞0对于任意x∈（0，1）∪（1，+∞）成立

【解析】（1）由题意可知：由函数g（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，等价于g′（x）=xex﹣a﹣1在（0，1）上有且仅有一个变号零点，构造辅助函数，根据函数的单调性，即可求得a的范围；（2）由题意，利用分析法，由结论可得 （x﹣1）（ex﹣1）﹣ax≥0 在（0，+∞）恒成立，设g（x）=（x﹣1）（ex﹣1）﹣ax，x∈[0，+∞），利用导数研究函数g（x）单调性，则结论易得．
【考点精析】掌握函数的极值与导数和函数的最大(小)值与导数是解答本题的根本，需要知道求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．