Question

如图，空间四边形OABC各边以及AC，BO的边长都为a，点D，E分别是边OA，BC的中点，连接DE 
（1）计算DE的长；     
（2）求A点到平面OBC的距离．

Answer 1

分析：（1）连接AE，OE，由题设知OE=AE=

3

2

a，所以△OEA是等腰三角形．DE⊥AO，由此能求出DE的长．
（2）由AE⊥BC，OE⊥BC，知面ABC⊥面AOE．在面AOE中，作OF⊥AE，则OF⊥面ABC，所以，OF的长即为点O到面ABC的距离．由△AOE是等腰三角形，DE是底AO上的高，OF是AE边上的高，由面积公式得：

1

2

AO×DE=

1

2

AE×OF，由此能求出点O到平面ABC的距离．

解答：解：（1）连接AE，OE，因空间四边形OABC各边以及AC，BO的长都是a，
D，E是OA，BC的中点，所以，OE=AE=

3

2

a，
所以△是等腰三角形．
所以DE⊥AO，
因此，DE=

OE2-OD2

=

3 4 a2- 1 4 a2

=

2

2

a．
（2）∵AE⊥BC，OE⊥BC，
∴BC⊥面AOE，∴面ABC⊥面AOE．
在面AOE中，作OF⊥AE，则OF⊥面ABC，
所以，OF的长即为点O到面ABC的距离．
∵△AOE是等腰三角形，DE是底AO上的高，OF是AE边上的高，
∴由面积公式得：

1

2

AO×DE=

1

2

AE×OF，
即

1

2

×a×

2

2

a=

1

2

×

3

2

× OFa，
解得．OF=

6

3

a，所以点O到平面ABC的距离是

6

3

a．

点评：本题考查点、线、面间的距离计算，解题时要认真审题，注意立体几何性质的合理运用，恰当地把空间距离等价转化为平面距离进行计算．