Question

函数y=(

1

3

)x2-1的值域是

 

．

Answer 1

分析：此题从形式上看应该采用换元法求值域，先令t=x²-1，将求函数y=(

1

3

)x2-1的值域的问题转化为求y=(

1

3

)t在[-1，+∞）上的值域问题，再利用函数y=(

1

3

)t的单调性求值域．

解答：解：令t=x²-1，t∈[-1，+∞）
   即y=(

1

3

)t，t∈[-1，+∞）
  函数y=(

1

3

)t在区间[-1，+∞）上是减函数
  故y≤(

1

3

)-1=3  
  故函数y=(

1

3

)x2-1的值域是（0，3]
  故答案为：（0，3]

点评：本题考点是指数函数的定义域及值域，考查利用换元法求函数的值域，换元法是求复合函数值域时常用的一种方法，适合于用来解决外层函数的单调区间确定而内层函数的单调区间不确定的情况，题后应仔细体会换元法的这一特点．