Question

已知双曲线=1(m＞0,n＞0)的顶点为A₁、A₂，与y轴平行的直线l交双曲线于点P、Q.
(1)求直线A₁P与A₂Q交点M的轨迹方程；
(2)当m≠n时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.

Answer 1

(1)=1, M的轨迹方程是 (2)(ⅰ)当m＞n时，焦点坐标为(±,0)，准线方程为x=±,离心率e=；
(ⅱ)当m＜n时，焦点坐标为(0,±),准线方程为y=±,离心率e=.

(1)设P点的坐标为(x₁,y₁)，则Q点坐标为(x₁,－y₁),又有A₁(－m,0),A₂(m,0),则A₁P的方程为: y=                 ①
A₂Q的方程为: y=－                              ②
①×②得: y²=－                              ③
又因点P在双曲线上，故
代入③并整理得=1, 此即为M的轨迹方程.
(2)当m≠n时，M的轨迹方程是椭圆.
(ⅰ)当m＞n时，焦点坐标为(±,0)，准线方程为x=±,离心率e=；
(ⅱ)当m＜n时，焦点坐标为(0,±),准线方程为y=±,离心率e=.