Question

17．y=[sinx•cos]+[sinx+cosx]的值域为{-2，-1，1}（[x]表示不超过实数x的最大整数）

Answer 1

分析 令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$，求出t的范围，然后分段作出g（t）=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$的图象，最后结合$[\frac{{t}^{2}-1}{2}]$与[t]求得答案．

解答 解：令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$，
则t∈[$-\sqrt{2}，\sqrt{2}$]，
再由t=sinx+cosx，得t²=1+2sinxcosx，
∴sinx•cosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$．
∴y=f（t）=[sinx•cos]+[sinx+cosx]=$[\frac{{t}^{2}-1}{2}]+[t]$（$-\sqrt{2}≤t≤\sqrt{2}$）．
如图：
当t∈$[-\sqrt{2}，-1）$时，$\frac{{t}^{2}-1}{2}$∈（0，$\frac{1}{2}$]，
∴y=f（t）=$[\frac{{t}^{2}-1}{2}]+[t]$=-2；
当t=-1时，$\frac{{t}^{2}-1}{2}$=0，
∴y=f（t）=$[\frac{{t}^{2}-1}{2}]+[t]$=-1；
当t∈（-1，0）时，$\frac{{t}^{2}-1}{2}$∈（-$\frac{1}{2}$，0），
∴y=f（t）=$[\frac{{t}^{2}-1}{2}]+[t]$=-2；
当t=0时，$\frac{{t}^{2}-1}{2}$=$-\frac{1}{2}$，
∴y=f（t）=$[\frac{{t}^{2}-1}{2}]+[t]$=-1；
当t∈（0，1）时，$\frac{{t}^{2}-1}{2}$∈（$-\frac{1}{2}$，0），
∴y=f（t）=$[\frac{{t}^{2}-1}{2}]+[t]$=-1；
当t∈[1，$\sqrt{2}$]时，$\frac{{t}^{2}-1}{2}$∈（0，$\frac{1}{2}$]，
∴y=f（t）=$[\frac{{t}^{2}-1}{2}]+[t]$=1．
∴y=[sinx•cos]+[sinx+cosx]的值域为{-2，-1，1}．
故答案为：{-2，-1，1}．

点评 本题是在新定义下对函数值域的考查，作出图形，正确分段是解答该题的关键，是中档题，但易出错．