Question

如图，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F₁，F₂，其上顶点为A．已知△F₁AF₂是边长为2的正三角形．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点Q（-4，0）任作一动直线l交椭圆C于M，N两点，记

MQ

=-λ•

QN

若在线段MN上取一点R，使得

MR

=λ•

RN

，试判断当直线l运动时，点R是否在某一定直线上运动？若在，请求出该定直线的方程；若不在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由△F₁AF₂是边长为2的正三角形，可得c=1，a=2，从而可求b，即可得到椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，由

MQ

=-λ•

QN

，确定λ的值，由

MR

=λ•

RN

，可得R的横坐标为定值，即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）∵已知△F₁AF₂是边长为2的正三角形，∴c=1，a=2，…（2分）
∴b=

a2-c2

=

3

∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．…（4分）
（Ⅱ）直线MN的斜率必存在，设其直线方程为y=k（x+4），并设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
直线方程与椭圆方程联立，消去y得（3+4k²）x²+32k²x+64k²-12=0，则
△=144（1-4k²）＞0，x₁+x₂=

-32k2

3+4k2

，x₁x₂=

64k2-12

3+4k2

  …（7分）
由

MR

=λ•

RN

，得-4-x₁=λ（x₂+4），故λ=-

x1+4

x2+4

．…（9分）
设点R的坐标为（x₀，y₀），则由

MQ

=-λ•

QN

得x₀-x₁=-λ（x₂-x₀），解得
x0=

x1-λx2

1-λ

=

x1+ x1+4 x2+4 ×x2

1+ x1+4 x2+4

=

2x1x2+4(x1+x2)

(x1+x2)+8

=

2× 64k2-12 3+4k2 +4× -32k2 3+4k2

-32k2 3+4k2 +8

=-1．…（13分）
故点R在定直线x=-1上．…（14分）

点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．