Question

20．已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=$\frac{1}{2}$，[3+（-1）ⁿ]a_n+2=2a_n+2[1-（-1）ⁿ]．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_2n-1•a_2n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）分n为奇数、偶数两种情况讨论，当n为奇数时可知数列{a_n}中奇数项构成公差为2的等差数列，当n为偶数时可知数列{a_n}中偶数项构成公比为2的等比数列，进而可得结论；
（2）通过（1）可知b_n=a_2n-1•a_2n=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，进而利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（1）当n为奇数时，2a_n+2=2a_n+4，
∴a_n+2=a_n+2，
即数列{a_n}中奇数项构成公差为2的等差数列，
∴a_n=a₁+$\frac{n-1}{2}$×2=n；
当n为偶数时，4a_n+2=2a_n，
∴a_n+2=2a_n，
即数列{a_n}中偶数项构成公比为2的等比数列，
∴${a}_{n}={a}_{2}{q}^{\frac{n-2}{2}}$=$\frac{1}{{2}^{\frac{n}{2}}}$；
综上所述，数列{a_n}的通项公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n，}&{n为奇数}\\{\frac{1}{{2}^{\frac{n}{2}}}，}&{n为偶数}\end{array}\right.$；
（2）由（1）可知b_n=a_2n-1•a_2n=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
∴S_n=1×$\frac{1}{2}$+3×$\frac{1}{{2}^{2}}$+5×$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（2n-1）×$\frac{1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}$S_n=1×$\frac{1}{{2}^{2}}$+3×$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（2n-3）×$\frac{1}{{2}^{n}}$+（2n-1）×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
两式相减得：$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{2}$+2（$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）-（2n-1）×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴S_n=1+1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-2}}$-（2n-1）×$\frac{1}{{2}^{n}}$
=1+$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n-1}}}{1-\frac{1}{2}}$-（2n-1）×$\frac{1}{{2}^{n}}$
=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．