Question

8．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$sinx，cos2x），x∈R，设函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（Ⅰ） 求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ） 求f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 由条件利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换求得f（x）解析式，再根据正弦函数的周期性求得f（x）的最小正周期．
（Ⅱ） 由条件利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调增区间．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\sqrt{3}$sinxcosx-$\frac{1}{2}$cos2x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$），故它的周期为$\frac{2π}{2}$=π．
（Ⅱ） 函数f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，
可得函数的增区间为 $[{-\frac{π}{6}}\right.+kπ，\left.{\frac{π}{3}+kπ}]，k∈Z$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的增区间，属于基础题．