Question

已知两个动点A，B和一个定点均在抛物线x²=2py上，设F为抛物线的焦点，Q为抛物线对称轴上一点，若成等差数列，且（A，B与P不重合）．
（1）求证：线段AB的中点在直线上；
（2）求点Q的纵坐标；
（3）求的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由在抛物线x²=2py上，可求p，由成等差数列，可得，利用坐标表示可证
（2）由，即，利用坐标表示及点A，B满足抛物线的方程联立可求
（3）设，则可得，从而有，代入x²=2py，整理得x²-2xx+2x²-3=0，结合方程的性质及，可求
解答：解：（1）在抛物线x²=2py上，所以，所以p=1．
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），因为成等差数列，
所以，所以，所以，
即线段AB的中点在直线上． …（2分）
（2）设AB的中点为M，则，，即，，（x₁+x₂）（x₂-x₁）+（y₁+y₂-2y_Q）（y₂-y₁）
=0，x₂²-x₁²+（y₁+y₂-2y_Q）（y₂-y₁）=0，…（4分）
又x₁²=2y₁，x₂²=2y₂，所以2（y₂-y₁）+（y₁+y₂-2y_Q）（y₂-y₁）=0，
依题意，y₁≠y₂，所以y₁+y₂-2y_Q+2=0，．…（6分）
（3）设，，所以，
代入x²=2py，得x²-2xx+2x²-3=0…（*）
由△＞0，得12-4x²＞0，即x²＜3，注意到A、B与P不重合，
所以0＜x²＜3，…（8分）
，
结合0＜x²＜3，．即的取值范围为（0，4]．…（10分）
点评：本题主要考查了；利用抛物线的性质求解抛物线的方程，解决（1）的关键是根据抛物线的定义写出FA，FB，FP，而处理直线与曲线的位置关系的问题时．在联立方程后，要主要对方程判别式的限制条件的考虑