Question

f（x）为偶函数且在（0，+∞）单调递增，求方程f（2x）=f（

x+1

x+4

）的所有根之和．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：f（x）为偶函数推出f（-x）=f（x），x＞0时f（x）是单调函数，推出f（x）不是周期函数．所以若f（a）=f（b）⇒a=b或a=-b，再利用根与系数的关系进行求解

解答： 解：∵f（x）为偶函数，
∴（2x）=f（-2x）
∵当x＞0时f（x）是单调函数，
又满足f(2x)=f(

x+1

x+4

)，
∴2x=

x+1

x+4

或-2x=

x+1

x+4

，
可得，2x²+7x-1=0或2x²+9x+1=0，两个方程都有解．
∴x₁+x₂=-

7

2

或x₃+x₄=-

9

2

，
∴x₁+x₂+x₃+x₄=-

7

2

-

9

2

=-8，
故方程的所有根之和为-8．

点评：本题主要函数奇偶性和单调性的性质，考查了函数的单调性和奇偶性与方程根的联系，属于函数性质的综合应用．