Question

设等比数列{a_n}的首项a₁=256，前n项和为S_n，且S_n，S_n+2，S_n+1成等差数列．
（Ⅰ）求{a_n}的公比q；
（Ⅱ）用Π_n表示{a_n}的前n项之积，即Πn=a₁•a₂…a_n，试比较Π₇、Π₈、Π₉的大小．

Answer 1

解：（Ⅰ）解法一：∵S_n+1=S_n+a_n+1，S_n+2=S_n+a_n+1+a_n+2，
由已知2S_n+2=S_n+S_n+1，…（4分）
得：2（S_n+a_n+1+a_n+2）=S_n+（S_n+a_n+1），∴，∴{a_n}的公比．…（8分）
解法二：由已知2S_n+2=S_n+S_n+1，…（2分）
当q=1时，S_n+2=（n+2）a₁，S_n+1=（n+1）a₁，S_n=na₁，
则2（n+2）a₁=（n+1）a₁+na₁，?a₁=0与{a_n}为等比数列矛盾； …（4分）
当q≠1时，则，
化简得：2qⁿ⁺²=qⁿ+qⁿ⁺¹，∵qⁿ≠0，∴2q²=1+q，∴…（8分）
（Ⅱ）∵，则有：a₂=-2⁷，a₃=2⁶，a₄=-2⁵，a₅=2⁴，a₆=-2³，a₇=2²，a₈=-2，a₉=1，…∴Π₇＜0…（11分）Π₈=Π₉＞0…（13分）∴Π₇＜Π₈=Π₉…（14分）
分析：（Ⅰ）解法一：由S_n+1=S_n+a_n+1，S_n+2=S_n+a_n+1+a_n+2，可得2S_n+2=S_n+S_n+1，即可得，从而可求等比数列的公比q
解法二：由已知2S_n+2=S_n+S_n+1，
分类讨论：q=1时及q≠1时，分别利用等比数列的求和公式代入已知可求q
（Ⅱ）由（1）可知，则通过计算可知Π₇＜0，，Π₈=Π₉＞0．从而可比较
点评：本题主要考查了利用数列的递推公式转化数列的项之间的关系及等比数列求和公式的应用（求和公式中要注意公比q=1时的情况是解题中容易漏掉的）．