Question

某动物园要围建一个面积为360m²的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：元）．
（Ⅰ）将y表示为x的函数；
（Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用

专题：应用题,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）设矩形的另一边长为am，则根据围建的矩形场地的面积为360m²，易得a，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式；
（II）根据（Ⅰ）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值．

解答： 解：（Ⅰ）设矩形的另一边长为am，
则y=45x+180（x-2）+180•2a=225x+360a-360．
由已知ax=360，得a=

360

x

，
所以y=225x+

3602

x

-360（x＞2）．
（II）因为x＞0，所以225x+

3602

x

≥10800，
所以y≥10440，当且仅当225x=

3602

x

时，等号成立．
即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．

点评：本题主要考查与函数有关的应用问题，利用条件建立函数关系是解决本题的关键．