Question

【题目】如图，椭圆 的左焦点为F1 ， 右焦点为F2 ， 过F1的直线交椭圆于A，B两点，△ABF2的周长为8，且△AF1F2面积最大时，△AF1F2为正三角形．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：①以PQ为直径的圆与x轴的位置关系？ ②在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵△ABF2的周长为8，∴4a=8，∴a=2．

又当△AF1F2面积最大时为正三角形，∴A（0，b），a=2c，∴c=1，b2=3，

∴椭圆E的方程为

（2）解：①由 ，得方程（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0

由直线与椭圆相切得m≠0，△=0，4k2﹣m2+3=0．

求得 ，Q（4，4k+m），PQ中点到x轴距离 ．

所以圆与x轴相交．

②假设平面内存在定点M满足条件，由对称性知点M在x轴上，设点M坐标为M（x1，0）， ．

由 ，得 ．

∴ ，即x1=1．

所以定点为M（1，0）．

【解析】（1）利用椭圆的定义、等边三角形的性质即可得出；（2）①判断圆心到x轴的距离与半径的大小关系即可得出； ②假设平面内存在定点M满足条件，则由对称性知点M在x轴上，再利用直径所对的圆周角是直角即可求出．
【考点精析】关于本题考查的椭圆的标准方程，需要了解椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能得出正确答案．