Question

20．已知中心是原点、焦点在y轴上的椭圆C长轴长为4，且椭圆C过点P（1，$\sqrt{2}$），
（1）求此椭圆的方程；
（2）过点P作倾斜角互补的两条直线PA、PB，分别交椭圆C于A、B两点．求直线AB的斜率．

Answer 1

分析 （1）由题意设椭圆的标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），可得$\left\{\begin{array}{l}{2a=4}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解出即可得出；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设PA的方程为y-$\sqrt{2}$=k（x-1），代入椭圆方程化简得：（k²+2）x²-2k$（k-\sqrt{2}）$x+${k}^{2}-2\sqrt{2}k$-2=0，
显然1与x₁是这个方程的两解，可得x₁，y₁，用-k代替x₁，y₁中的k，得x₂，y₂．再利用斜率计算公式即可得出．

解答 解：（1）由题意设椭圆的标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），可得$\left\{\begin{array}{l}{2a=4}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得a=2，b²=2=c²．
设此椭圆的方程为：$\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{2}=1$．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设PA的方程为y-$\sqrt{2}$=k（x-1），代入椭圆方程化简得：（k²+2）x²-2k$（k-\sqrt{2}）$x+${k}^{2}-2\sqrt{2}k$-2=0，
显然1与x₁是这个方程的两解，
∴x₁=$\frac{{k}^{2}-2\sqrt{2}k-2}{{k}^{2}+2}$，y₁=$\frac{-\sqrt{2}{k}^{2}-4k+2\sqrt{2}}{{k}^{2}+2}$，
用-k代替x₁，y₁中的k，得x₂=$\frac{{k}^{2}+2\sqrt{2}k-2}{{k}^{2}+2}$，${y}_{2}=\frac{-\sqrt{2}{k}^{2}+4k+2\sqrt{2}}{{k}^{2}+2}$．
∴$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．