Question

3．若在△ABC中，$\frac{b+a}{a}$=$\frac{sinB}{sinB-sinA}$，且cos2C+cosC=1-cos（A-B），则△ABC的形状为直角三角形．

Answer 1

分析 利用两角和与差的余弦公式、二倍角公式化简：cos2C+cosC=1-cos（A-B），利用正弦定理换成边的关系，利用正弦定理把$\frac{b+a}{a}=\frac{sinB}{sinB-sinA}$转化成边的关系，联立方程后即可判断出三角形的形状．

解答 解：由题意得，cos2C+cosC=1-cos（A-B），
则cosC+cos（A-B）=1-cos2C，
因为A+B+C=π，所以cos（A-B）-cos（A+B）=2sin²C，
则sinAsinB=sin²C，根据正弦定理，ab=c²，①，
因为$\frac{b+a}{a}=\frac{sinB}{sinB-sinA}$，所以由正弦定理得$\frac{b+a}{a}=\frac{b}{b-a}$，
化简可得，b²-a²=ab，②，
由①②得，b²-a²=c²，则b²=a²+c²，
所以B=90°，则△ABC是直角三角形，
故答案为：直角三角形．

点评 本题考查两角和与差的余弦公式、二倍角公式，以及正弦定理的应用，三角形的形状的判断，考查了学生分析问题和解决问题的能力．