Question

12．如图所示，AB为圆O的直径，D为圆O上一点，BC与圆O相切于B点，AD∥OC
（1）求证：CD为圆O的切线；（2）若圆O的半径为R，求AD•OC的值．

Answer 1

分析 （1）首先连接OD，由弦AD∥OC，易证得∠COB=∠COD，继而证得△COB≌△COD（SAS），即可得∠ODC=∠OBC，然后由BC与⊙O相切于点B，可得∠ODC=90°，即可证得CD是⊙O的切线．
（2）证明Rt△BAD∽Rt△COB，可得$\frac{AD}{OB}=\frac{AB}{OC}$，即可求AD•OC的值

解答 （1）证明：连接OD，
∵AD∥OC，
∴∠A=∠COB，∠ADO=∠COD，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∴∠COB=∠COD，
在△COB和△COD中，OB=OD，∠COB=∠COD，OC=OC，
∴△COB≌△COD（SAS），
∴∠ODC=∠OBC，
∵BC与⊙O相切于点B，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC=90°，
∴∠ODC=90°，
即OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：连接BD
∵AD∥OC，∴∠DAB=∠COB，
∴Rt△BAD∽Rt△COB，
∴$\frac{AD}{OB}=\frac{AB}{OC}$，
∴AD•OC=AB•OB=2R²．

点评 此题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形相似的判定与性质以及平行线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．