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18.已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上存在一点P到其焦点的距离为$\frac{3}{2}$,且点P在圆x2+y2=$\frac{9}{4}$上.
(1)求抛物线E的方程;
(2)过点T(m,0)作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于A、B、C、D四点,且M、N分别为线段AB、CD的中点,求△TMN的面积最小值.

分析 (1)利用抛物线上存在一点P到其焦点的距离为$\frac{3}{2}$,且点P在圆x2+y2=$\frac{9}{4}$上,求出p,可求抛物线E的方程;
(2)设直线AB的方程为y=k(x-m),直线CD的方程为y=-$\frac{1}{k}$(x-m),分别于抛物线方程联立,可得M,N的坐标,求出|TM|,|TN|,可得△TMN的面积,利用基本不等式,求出△TMN的面积的最小值.

解答 解:(1)设P(x0,y0),则x0+$\frac{p}{2}$=$\frac{3}{2}$,∴x0=$\frac{3}{2}$-$\frac{p}{2}$(2分)
∵点P在圆x2+y2=$\frac{9}{4}$上,∴(3-p)2+4p(3-p)=9,解得:p=2
∴抛物线的方程为y2=4x.(4分)
(2)根据题意,直线AB、CD斜率存在且不为零,
设AB的斜率为k(不妨设k>0),则CD的斜率为-$\frac{1}{k}$,
直线AB的方程为y=k(x-m),直线CD的方程为y=-$\frac{1}{k}$(x-m)
由y=k(x-m),代入抛物线方程 得:k2x2-2(k2m+2)x+k2m2=0(6分)
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=$\frac{2({k}^{2}m+2)}{{k}^{2}}$
∴y1+y2=$\frac{4}{k}$,
∴M(m+$\frac{2}{{k}^{2}}$,$\frac{2}{k}$)(8分)
同理,N(m+2k2,-2k)
∴|TM|=$\frac{2\sqrt{1+{k}^{2}}}{{k}^{2}}$,|TN|=2k$\sqrt{1+{k}^{2}}$(10分)
S△TMN=$\frac{1}{2}$•$\frac{2\sqrt{1+{k}^{2}}}{{k}^{2}}$•2k$\sqrt{1+{k}^{2}}$=2(k+$\frac{1}{k}$)≥4
当且仅当k=1时,等号成立
∴△TMN面积最小值为4.(12分)

点评 本小题主要考查基本不等式应用、直线与圆锥曲线的综合问题等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于中档题.

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