Question

7．已知：如图，点I是△ABC的内心，延长AI交△ABC的外接圆于点D，求证：点D是△BCI的外心．

Answer 1

分析 欲证点D是△BCI的外心，只需要证明DB=DI=DC即可．

解答 证明：∵点I是△ABC的内心，延长AI交△ABC的外接圆于点D，
∴∠DBI=∠DBC+∠CBI=∠DAC+$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠BAC+$\frac{1}{2}$∠ABC，
∠BID=∠BAD+∠ABI=$\frac{1}{2}$∠BAC+$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠DBI=∠BID，DB=DI，
又∠DBC=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∠BCD=∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∠DBC=∠BCD，DB=DC，
∴DB=DI=DC，
∴D是△BCI的外心．

点评 本题考查点是三角形外心的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意三角形的内心的性质的合理运用．