Question

在直角坐标系xOy中，动点P到两点F₁（-1，0），F₂（1，0）的距离之和为4，设P点轨迹为C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）曲线C上不同的两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）满足：

AF2

=λ

F2B

，x₁+x₂=

1

2

，求λ的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知得C是一个椭圆，焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），长轴为4，由此能求出C的方程．
（Ⅱ）设AB：x=my+1，与椭圆联立得：（3m²+4）y²+6my-9=0，由此利用韦达定理，结合已知条件能求出λ的值．

解答： （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵动点P到两点F₁（-1，0），F₂（1，0）的距离之和为4，
∴C是一个椭圆，焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），长轴为4，
故C：

x2

4

+

y2

3

=1．…（4分）
（Ⅱ）设AB：x=my+1，与椭圆联立得：（3m²+4）y²+6my-9=0，
由韦达定理y1+y2=-

6m

3m2+4

，…（7分）
x1+x2=m(y1+y2)+2=

8

3m2+4

=

1

2

，
解得m=±2.

AF2

=λ

F2B

⇒λ=-

y1

y2

．
不妨设m=2（m=-2是对称的），
则16y²+12y-9=0，
解得y1=

-3+3 5

8

，y2=

-3-3 5

8

，
∴λ=

3± 5

2

．…（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查实数值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．