Question

11．过点A（-4，0）向椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）引两条切线，切点分别为B、C，若△ABC为正三角形，当ab最大时，椭圆的方程$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{3{y}^{2}}{8}$=1．

Answer 1

分析 其中一条切线的方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+4），联立方程化简可得（3b²+a²）x²+8a²x+16a²-3a²b²=0，从而可得a²+3b²=16；利用基本不等式确定最大值即可．

解答 解：由题意，其中一条切线的方程为：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+4），
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}（x+4）}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，
消去y得，3b²x²+a²（x+4）²=3a²b²，
即（3b²+a²）x²+8a²x+16a²-3a²b²=0，
∵△=（8a²）²-4（3b²+a²）（16a²-3a²b²）=0，
∴a²+3b²=16，
∵a²+3b²≥2$\sqrt{3{a}^{2}{b}^{2}}$，
（当且仅当a²=3b²，即a=2$\sqrt{2}$，b=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$时，等号成立）；
故当a=2$\sqrt{2}$，b=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$时，ab有最大值；
故此时椭圆的方程为
$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{3{y}^{2}}{8}$=1．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{3{y}^{2}}{8}$=1．

点评 本题考查了直线与椭圆的位置关系的应用及基本不等式在求最值时的应用．同时考查了学生化简运算的能力．