Question

（2012•赣州模拟）已知椭圆C₁：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的右顶点A（1，0），过C₁的焦点且垂直长轴的弦长为1．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设点P在抛物线C₂：y=x²+h（h∈R）上，C₂在点P处的切线与C₁交于点M，N．若存在点P，使得线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由椭圆右顶点A（1，0），过C₁的焦点且垂直长轴的弦长为1，建立方程组，即可求出椭圆方程；
（2）不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(t，t2+h)，求出直线MN的方程代入椭圆C₁的方程，根据直线MN与椭圆C₁有两个不同的交点，所以有△＞0，利用线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等，建立方程，从而可得h的取值范围．

解答：解：（1）由题意得

b=1 2• b2 a =1

，∴

a=2 b=1

，…（3分）
∴所求的椭圆方程为

y2

4

+x2=1…（5分）
（2）不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(t，t2+h)，则抛物线C₂在点P处的切线斜率为y'|_x=t=2t，…（6分）
∴直线MN的方程为y=2tx-t²+h，代入椭圆C₁的方程中，得4x²+（2tx-t²+h）²-4=0，
即4（1+t²）x²-4t（t²-h）x+（t²-h）²-4=0，…（7分）
因为直线MN与椭圆C₁有两个不同的交点，所以有△=16t²（t²-h）²-16（1+t²）[（t²-h）²-4]＞0
即-（t²-h）²+4+4t²＞0，…（8分）
设线段MN的中点的横坐标是x₃，则x3=

x1+x2

2

=

t(t2-h)

2(1+t2)

，
设线段PA的中点的横坐标是x₄，则x4=

t+1

2

，
由题意得x₃=x₄，即有t²+（1+h）t+1=0，显然t≠0
∴h=-

t2+t+1

t

=-(t+

1

t

+1)（t≠0）…（9分）
∴t⁴+2t³-2t²+2t+1＜0，即（t²+t+1）²-5t²＜0
解得-

(1+ 5 )+ 2(1+ 5 )

2

＜t＜

-(1+ 5 )+ 2(1+ 5 )

2

而-

(1+ 5 )+ 2(1+ 5 )

2

＜-1＜

-(1+ 5 )+ 2(1+ 5 )

2

＜0
又h=-

t2+t+1

t

=-(t+

1

t

+1)在(-

(1+ 5 )+ 2(1+ 5 )

2

，-1)上递增，
在(-1，

-(1+ 5 )+ 2(1+ 5 )

2

)上递减…（11分）
∴当t=-1时，h取到最小值1；…（12分）
当t=-

(1+ 5 )+ 2(1+ 5 )

2

或t=

-(1+ 5 )+ 2(1+ 5 )

2

时，h的值都为

5

∴h的取值范围是[1，

5

)…（13分）

点评：本题考查椭圆的标准方程与性质，考查抛物线的切线，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题．