Question

如图，已知△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，且EC、BD在平面ABC的同侧，M为EA的中点，CE=CA=2BD，求证：
（1）DE=DA；
（2）平面BDM⊥平面ECA．

Answer 1

分析：（1）取AC中点N，连接MN、BN，欲证DE=DA，根据三角形的中线又是高的三角形是等腰三角形，而M为AE中点，只需证明DM⊥AE即可；
（2）欲证平面BDM⊥平面AEC，根据面面垂直的判定定理可知在平面BDM内一直线与平面AEC垂直，而根据题意可得DM⊥平面AEC．

解答：证明：（1）取AC中点N，连接MN、BN，∵△ABC是正三角形，∴BN⊥AC，
∵EC⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，∴EC∥BD，EC⊥BN，
又∵M为AE中点，EC=2BD，∴MN

∥ .

.

BD，∴BN

∥ .

.

DM，
∴四边形MNBD是平行四边形，
由BN⊥AC，BN⊥EC，得BN⊥平面AEC，∴DM⊥平面AEC，
∴DM⊥AE，∴AD=DE．
（2）∵DM⊥平面AEC，DM?平面BDM，
∴平面BDM⊥平面AEC．

点评：本小题主要考查平面与平面垂直的判定，以及等腰三角形的判定等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．