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【题目】已知两地相距,某船从地逆水到地,水速为,船在静水中的速度为.若船每小时的燃料费与其在静水中速度的平方成正比,当,每小时的燃料费为元,为了使全程燃料费最省,船的实际速度应为多少?

【答案】时,时航程费用最省,此时实际船速为;当时,时航程费用最省,此时实际船速为

【解析】

根据题意可设出船每小时的燃料费与其在静水中速度的关系式,代入后求得解析式.根据速度、路程和时间的关系,表示出全称航行所需费用的关系式,结合基本不等式求得最值;当时,利用定义判断函数单调性,即可确定最小值时的速度.

设每小时的燃料费用为,比例系数为

由船每小时的燃料费与其在静水中速度的平方成正比可得.

,每小时的燃料费为元,代入可得

解得,所以

行使全称所需费用为,则

因为船在静水中的速度为

时,由基本不等式可得

当且仅当时取等号,解得.

所以当时,时航程费用最省;

时,,令

任取,且

因为

所以

为单调递减函数,

因而当时取得最小值,即最小值为

综上可得,当时,时航程费用最省,此时实际船速为

时,时航程费用最省,此时实际船速为

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