Question

18．已知等比数列{a_n}是递增数列，a₂a₅=32，a₃+a₄=12，又数列{b_n}满足b_n=2log₂a_n+1，S_n是数列{b_n}的前n项和
（1）求S_n；
（2）若对任意n∈N₊，都有$\frac{S_n}{a_n}≤\frac{S_k}{a_k}$成立，求正整数k的值．

Answer 1

分析 （1）运用等比数列的性质和通项，可得数列{a_n}的通项公式，再由对数的运算性质，可得数列{b_n}的通项公式，运用等差数列的求和公式，可得S_n；
（2）令${C_n}=\frac{S_n}{a_n}=\frac{{{n^2}+n}}{{{2^{n-1}}}}$，通过相邻两项的差比较可得{C_n}的最大值，即可得到结论．

解答 解：（1）因为a₂a₅=a₃a₄=32，a₃+a₄=12，且{a_n}是递增数列，
所以a₃=4，a₄=8，所以q=2，a₁=1，所以${a_n}={2^{n-1}}$；
所以${b_n}=2{log_2}{a_{n+1}}=2log{2^n}=2n$．
所以 ${S_n}=2+4+…+2n=\frac{n（2+2n）}{2}={n^2}+n$．
（2）令${C_n}=\frac{S_n}{a_n}=\frac{{{n^2}+n}}{{{2^{n-1}}}}$，
则${C_{n+1}}-{C_n}=\frac{{{S_{n+1}}}}{{{a_{n+1}}}}-\frac{S_n}{a_n}=\frac{{（{n+1}）（{n+2}）}}{2^n}-\frac{{n（{n+1}）}}{{{2^{n-1}}}}=\frac{{（{n+1}）（{2-n}）}}{2^n}$．
所以 当n=1时，c₁＜c₂；
当n=2时，c₃=c₂；
当n≥3时，c_n+1-c_n＜0，即c₃＞c₄＞c₅＞…．
所以数列{c_n}中最大项为c₂和c₃．
所以存在k=2或3，使得对任意的正整数n，都有$\frac{S_k}{a_k}≥\frac{S_n}{a_n}$．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，考查数列的单调性的判断和应用，以及不等式恒成立问题的解法，属于中档题．