Question

已知矩形ABCD中，AB=6，BC=6

2

，E为AD的中点沿BE将△ABE折起，使二面角A-BE-C为直二面角且F为AC的中点．
（1）求证：FD∥平面ABE；
（2）求二面角E-AB-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由题意可取AB中点为M，连接MF，ME，证明DF∥ME，再由线面平行的判定定理证明FD∥平面ABE即可；
（2）在矩形ABCD中，连接AC交BE于G，在图二中作G′H⊥AB于H，连CH，可先由向量与垂直的对应关系在平面矩形中先证明BE与AC垂直，由于翻折不改变此垂直关系，结合面面垂直与三垂线定理证明出角GHC是二面角E-AB-C的平面角，然后在相应的三角形中求出其余弦值的大小即可得到所求的二面角．

解答：解：（1）由题意，如图，可取AB中点为M，连接MF，ME，由于E为AD的中点F为AC的中点
∴MF

∥

.

1

2

BC

∥

.

DE
∴四边形MFDE是平行四边形
∴DF∥ME，又MF?平面ABE，FD?平面ABE
∴FD∥平面ABE
（2）在矩形ABCD中，连接AC交BE于G，则

BE

•

AC

=(

BA

+

AE

)•(

AB

+

BC

)=-

AB

2+

AE

•

BC

=-36+36=0
∴

BE

⊥

AC

，又AB=6，BC=6

2

∴AC=6

3

，BE=3

6

∴AG=2

3

，GC=4

3

在图二中作G′H⊥AB于H，连CH，
∵CG⊥BE，所以平面ABE⊥平面BCDE，
∴CG⊥平面ABE，
∵GH⊥AB，由三垂线定理知GH⊥AB，
∴∠GHC是二面角E-AB-C的平面角，
∵GH×AB=AG×BG，GB=2

6

∴GH=

AG×BG

AB

=

2 3 ×2 6

6

=2

2

，
∵tan∠CHG=

CG

GH

=

4 3

2 2

=

6

∴cos∠CHG=

7

7

即二面角E-AB-C的余弦值为

7

7

点评：本题考查了二面角的求法，线面平行的证明，是立体几何中常考的题型，解题的关键是熟练掌握二面角平面角的作法与线面平行的判定定理，本题考查了数形结合的思想与推理证明的能力，是高考中常考的题型，难度较大，熟练掌握相关方法与技巧是解题的关键