Question

已知数列为等差数列，且a₁=5，a₃=29．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）对任意n∈N^*，恒成立的实数m是否存在最小值？如果存在，求出m的最小值；如果不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）设等差数列{log₃（a_n-2）}的公差为d．
由a₁=5，a₃=29得log₃27=log₃3+2d，即d=1．
所以log₂（a_n-2）=1+（n-1）×1=n，即a_n=2ⁿ+2．
（2）证明：因为==，
所以++…+=+++…+==1-，
要恒成立，
即1-＜m，由于1-＜1，
∴m≥1．
故存在m的最小值1，使得对任意n∈N^*，恒成立．
分析：（1）设等差数列{log₃（a_n-2）}的公差为d．根据a₁和a₃的值求得d，进而根据等差数列的通项公式求得数列{log₃（a_n-2）}的通项公式，进而求得a_n．
（2）把（1）中求得的a_n代入++…+中，进而根据等比数列的求和公式求得++…+=1-，即可得出答案．
点评：本题考查等差、等比数列的性质与存在性问题，注意与对数函数或指数函数的结合运用时，往往同时涉及等比、等差数列的性质，是一个难点．