Question

【题目】在新冠病毒肆虐全球的大灾难面前，中国全民抗疫，众志成城，取得了阶段性胜利，为世界彰显了榜样力量.为庆祝战疫成功并且尽快恢复经济，某网络平台的商家进行有奖促销活动，顾客购物消费每满600元，可选择直接返回60元现金或参加一次答题返现，答题返现规则如下：电脑从题库中随机选出一题目让顾客限时作答，假设顾客答对的概率都是0.4，若答对题目就可获得120元返现奖励，若答错，则没有返现.假设顾客答题的结果相互独立.

（1）若某顾客购物消费1800元，作为网络平台的商家，通过返现的期望进行判断，是希望顾客直接选择返回180元现金，还是选择参加3次答题返现？

（2）若某顾客购物消费7200元并且都选择参加答题返现，请计算该顾客答对多少次概率最大，最有可能返回多少现金？

Answer 1

【答案】（1）商家希望顾客参加答题返现；（2）该顾客答对5次的概率最大，最有可能返回元现金.

【解析】

（1）设表示顾客在三次答题中答对的次数，利用二项分布计算可得，从而可得顾客在三次答题中可获得的返现金额的期望为元，从而可得商家的正确选择.

（2）由已知顾客可以参加12次答题返现，设其中答对的次数为.利用二项分布可得，，1，2，…，12，由可得，从而可得该顾客答对5次的概率最大，故可得最有可能返回的现金额.

（1）设表示顾客在三次答题中答对的次数，

由于顾客每次答题的结果是相互独立的，则，.

所以.

由于顾客每答对一题可获得120元返现奖励，因此该顾客在三次答题中可获得的返现金额的期望为元.由于顾客参加三次答题返现的期望144元小于直接返现的180元，所以商家希望顾客参加答题返现..

（2）由已知顾客可以参加12次答题返现，设其中答对的次数为.

由于顾客答题的结果是相互独立的，则，.

，，1，2，…，12

假设顾客答对次的概率最大，

则有

解得，则，所以，所以最大.

所以该顾客答对5次的概率最大，最有可能返回元现金.