Question

已知f（x）是定义在R上的增函数，对任意x、y∈R，记命题P：“若x+y＞0，则 f（x）+f（y）＞f（-x）+f（-y）”
（Ⅰ）证明：命题P是真命题；
（Ⅱ）写出命题P的逆命题Q，并用反证法证明Q也是真命题．

Answer 1

考点：四种命题的真假关系,四种命题,抽象函数及其应用

专题：简易逻辑

分析：（Ⅰ）根据不等式的同向可加性即可证明，
（Ⅱ）根据四种命题的关系即可写出命题P的逆命题Q，根据反证法的步骤和要求证明即可

解答： （Ⅰ）证明：因为x+y＞0，即x＞-y，又f（x）是定义在R上的增函数，
所以f（x）＞f（-y），
同理f（y）＞f（-x），
所以f（x）+f（y）＞f（-x）+f（-y）．
（Ⅱ）解：逆命题Q为“若f（x）+f（y）＞f（-x）+f（-y），则x+y＞0”．
证明如下：假设结论“x+y＞0”不成立，则x+y≤0，即x≤-y，
因为f（x）是定义在R上的增函数，所以f（x）≤f（-y），
同理f（y）≤f（-x），
所以f（x）+f（y）≤f（-x）+f（-y）．
与条件“f（x）+f（y）＞f（-x）+f（-y）”矛盾，
所以假设错误，即结论x+y＞0成立．
所以逆命题Q是真命题．

点评：本题考察了命题的真假的判断和证明以及反证法，属于中档题