Question

（2012•宝鸡模拟）（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
A．（不等式选做题）若关于x的不等式|x+1|+|x-2|≤a有解，则实数a的取值范围是

[3，+∞）

．
B．（几何证明选做题）如图所示，圆O是△ABC的外接圆，过C点的切线交AB的延长线于点D，CD=2

7

，AB=BC=3，则AC长

3 7

2

．
C．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系下，直线ρcos(θ-

π

4

)=

2

与圆ρ=

2

的公共点个数是

1

．

Answer 1

分析：A． 由已知条件利用绝对值不等式的性质可得|x+1|+|x-2|≥3，结合题意可得a≥3．
B．结合线割线定理，我们可以求出DB的长，再由△DBC∽△DCA根据相似三角形的性质可以求出AC的长．
C．把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，将此距离和圆的半径作对比，得出结论．

解答：解：A．∵|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，即|x+1|+|x-2|≥3，
由关于x的不等式|x+1|+|x-2|≤a有解，知a≥3，
故答案为[3，+∞）．
B．由切割线定理得：DB•DA=DC²，即DB（DB+BA）=DC²，∴DB²+3DB-28=0，得DB=4．
∵∠A=∠BCD，∴△DBC∽△DCA，∴

BC

CA

=

DB

BC

，解得AC=

BC•DC

BD

=

3 7

2

．
故答案为

3 7

2

．
C．直线ρcos（θ-

π

4

）=

2

 即

2

2

ρcosθ+

2

2

ρsinθ=

2

，化为直角坐标方程为 x+y-2=0，
圆ρ=2 即 x²+y²=4，圆心到直线的距离等于

|0+0-2|

2

=

2

＜2（半径），
故直线和圆相交，故直线和圆有两个交点，
故答案为 2．

点评：本题主要考查绝对值不等式、有关绝对值不等式恒成立的问题．与圆有关的比例线段，相似三角形的性质．把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．