Question

已知函数g（x）=Asin（wx+φ）（A＞0，w＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示，其中点A（

π

3

，2）、B（

11π

6

，0）分别是函数的最大值点和零点．
（I）求函数y=g（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数f（x）=2g（x）cosx+m在[0，

π

2

]上的最大值为6，求函数f（x）在R上的最小值及相应的x值的集合．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据图象可知

3

4

×T=

11π

6

-

π

3

，解得T的值，进而求得w，再根据顶点坐标可得A=2，将点A点的坐标代入函数y=g（x），可得sin（

π

3

+φ）=1，结合0＜φ＜π求得 φ，从而得到函数解析式．
（Ⅱ）根据两角和差的正弦函数化简f（x）的解析式为2sin（2x+

π

6

）+m+1，根据x的范围求得f（x）的最大值为2+m+1=6，求得m的值，即可确定f（x）的解析式，由此求得函数取得最小值时x值的集合．

解答：解：（Ⅰ）根据图象可知

3

4

×T=

11π

6

-

π

3

，解得T=2π． 再由

2π

w

=2π，可得w=1．
由顶点坐标可得A=2，所以，g（x）=2sin（x+φ），
将点A点的坐标代入函数y=g（x），可得sin（

π

3

+φ）=1，∴

π

3

+φ=2kπ+

π

2

，k∈z．
再结合0＜φ＜π求得 φ=

π

6

．
所以，g（x）=2sin（x+

π

6

）．…（6分）
（Ⅱ）f（x）=2g（x）cosx+m=4sin（x+

π

6

）cosx+m=4（

3

2

sinx+

1

2

cosx）cosx+m
=2

3

sinxcosx+2cos²x+m=

3

sin2x+2cos2x+1+m=2sin（2x+

π

6

）+m+1．…（9分）
由x∈[0，

π

2

]，得 2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，于是函数f（x）的最大值为2+m+1=6，解得m=3．
所以f（x）=2sin（2x+

π

6

）+4．
当x∈R时，f（x）的最小值为-2+4=2，此时x满足2x+

π

6

=2kπ+

3π

2

，k∈z，
相应的x值的集合为{x|x=kπ+

2π

3

，k∈z}．…（12分）

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，两角和差的正弦函数，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．