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定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2的奇函数, 且当x∈(0, 1)时, f (x)=.
(1)求f (x)在[-1, 1]上的解析式;  
(2)证明f (x)在(—1, 0)上时减函数;
(3)当λ取何值时, 不等式f (x)>λ在R上有解?

(1) f(x)=. (2)用定义或导数法均可证明;(3)λ< 

解析试题分析:(1)当x∈(-1, 0)时, - x∈(0, 1).∴由题意可得f(-x)=.
又f(x)是奇函数,∴f(x)=" -" f (-x) =-.    2分
∵f(-0)= -f(0),  ∴f(0)=" 0."    3分
又f(x)是最小正周期为2的函数,∴对任意的x有f(x+2)= f(x).
∴f(-1)=" f(-1+2)=" f(1). 另一面f(-1)="-" f (1), ∴- f(1)=" f(1)" . ∴f(1) = f(-1)=0.  5分
∴f(x)在[-1, 1]上的解析式为 f(x)=.    6分
(2)f (x)在(—1, 0)上时的解析式为,∵,∴,又-1<x<0,∴,∴,∴,∴f (x)在(—1, 0)上时减函数   10分
(3)不等式f(x)>λ在R上有解的λ的取值范围就是λ小于f(x)在R上的最大值.…12分
由(2)结论可得,当x∈(-1, 0)时,有-< f(x)= -< -
又f(x)是奇函数,当x∈(0, 1)时,有< f(x)=<
∴f(x)在[-1, 1]上的值域是(-, -)∪{0}∪(, ).  14分
由f(x)的周期是2;故f(x)在R上的值域是(-, -)∪{0}∪(, )  15分
∴λ<时,不等式f(x)>λ在R上有解.    16分
考点:本题考查了函数的性质
点评:利用奇偶性求函数解析式问题要注意:(1)在哪个区间求解析式,就设在哪个区间里;(2)转化为已知的解析式进行代入;(3)利用的奇偶性把写成,从而求出

练习册系列答案
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(3)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.

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