定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2的奇函数, 且当x∈(0, 1)时, f (x)=.
(1)求f (x)在[-1, 1]上的解析式;
(2)证明f (x)在(—1, 0)上时减函数;
(3)当λ取何值时, 不等式f (x)>λ在R上有解?
(1) f(x)=. (2)用定义或导数法均可证明;(3)λ<
解析试题分析:(1)当x∈(-1, 0)时, - x∈(0, 1).∴由题意可得f(-x)=.
又f(x)是奇函数,∴f(x)=" -" f (-x) =-. 2分
∵f(-0)= -f(0), ∴f(0)=" 0." 3分
又f(x)是最小正周期为2的函数,∴对任意的x有f(x+2)= f(x).
∴f(-1)=" f(-1+2)=" f(1). 另一面f(-1)="-" f (1), ∴- f(1)=" f(1)" . ∴f(1) = f(-1)=0. 5分
∴f(x)在[-1, 1]上的解析式为 f(x)=. 6分
(2)f (x)在(—1, 0)上时的解析式为,∵,∴,又-1<x<0,∴,∴,∴,∴f (x)在(—1, 0)上时减函数 10分
(3)不等式f(x)>λ在R上有解的λ的取值范围就是λ小于f(x)在R上的最大值.…12分
由(2)结论可得,当x∈(-1, 0)时,有-< f(x)= -< -;
又f(x)是奇函数,当x∈(0, 1)时,有< f(x)=<;
∴f(x)在[-1, 1]上的值域是(-, -)∪{0}∪(, ). 14分
由f(x)的周期是2;故f(x)在R上的值域是(-, -)∪{0}∪(, ) 15分
∴λ<时,不等式f(x)>λ在R上有解. 16分
考点:本题考查了函数的性质
点评:利用奇偶性求函数解析式问题要注意:(1)在哪个区间求解析式,就设在哪个区间里;(2)转化为已知的解析式进行代入;(3)利用的奇偶性把写成或,从而求出.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数的图象在与轴交点处的切线方程是.
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)设函数,若的极值存在,求实数的取值范围以及当取何值时函数分别取得极大和极小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R.
(1)若a+b≥0,求证:f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b);
(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立,并证明你的结论.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设函数是定义在区间上的偶函数,且满足
(1)求函数的周期;
(2)已知当时,.求使方程在上有两个不相等实根的的取值集合M.
(3)记,表示使方程在上有两个不相等实根的的取值集合,求集合.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)=x|x-a|-lnx,a∈R.
(Ⅰ)若a=1,求函数f(x)在区间[1,e]上的最大值;
(Ⅱ)若f(x)>0恒成立,求a的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数,其中,记函数的定义域为D.
(1)求函数的定义域D;
(2)若函数的最小值为,求的值;
(3)若对于D内的任意实数,不等式<恒成立,求实数的取值范围.
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