精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
(2009•长宁区二模)设x轴、y轴正方向上的单位向量分别是
i
j
,坐标平面上点列An、Bn(n∈N*)分别满足下列两个条件:①
OA1
=
j
AnAn+1
=
i
+
j
;②
OB1
=3
i
BnBn+1
=(
2
3
)
n
×3
i

(1)求
OA2
OA3
的坐标,并证明点An在直线y=x+1上;
(2)若四边形AnBnBn+1An+1的面积是an,求an(n∈N*)的表达式;
(3)对于(2)中的an,是否存在最小的自然数M,对一切n∈N*都有an<M成立?若存在,求M;若不存在,说明理由.
分析:(1)根据向量的加法的几何意义,再结合坐标运算的法则,可得
OA2
OA3
的坐标,因而再结合已知条件,可得
OA n
=
OA 1
+
A 1A 2
+…+
A n-1A n
,代入坐标可得An(n-1,n),它满足直线方程y=x+1;
(2)用类似于(1)的方法,结合已知条件用等比数列求和公式,得:
OB n
=(9-9×(
2
3
) n,0)
,代入四边形
AnBnBn+1An+1的面积,进而得到an的通项公式为an=5+(n-2)×(
2
3
) n-1

(3)通过作差,得an-an+1
n-4
3
×(
2
3
)
n-1
,再通过讨论得到这个差在n=4时为0,而n<4时为正,n>4时为负,从而得到a4=a5为的最大项,因此不难求出存在最小的自然数M=6,对一切n∈N*都有an<M成立.
解答:解:(1)
OA2
=
OA1
+
A1A2
=
j
+(
i
+
j
)=
i
+2
j
=(1,2)

OA2
+
A2A3
=
i
+2
j
+(
i
+
j
)=2
i
+3
j
=(2,3)

OA n
=
OA 1
+
A 1A 2
+…+
A n-1A n

=
j
+(n-1)(
i
j
) =(n-1)
i
+n
j
=(n-1,n)
所以An(n-1,n),它满足直线方程y=x+1,因此点An在直线y=x+1上.
(2)
OB n
=
OB 1
+
B 1B 2
+…+
B n-1B n

=3
i
+
2
3
×3
i
+ (
2
3
) 2×3
i
+…+(
2
3
) n-1×3
i

=
1-(
2
3
) n
1-
2
3
×3
i
=(9-9×(
2
3
) n,0)

设直线y=x+1交x轴于P(-1,0),
an=S △PA n+1B n+1-S △PA nB n
=
1
2
[10-9×(
2
3
) n+1
]×(n+1)-
1
2
[10-9×(
2
3
) n
]×n
=5+(n-2)×(
2
3
) n-1

(3)an-an+1=[5+(n-2)×(
2
3
)n-1]-[5+(n-1)(
2
3
)n]
=(
2
3
)n-1[(n-2)-(n-1)×(
2
3
)]=
n-4
3
×(
2
3
)n-1

所以a1-a2<0,a2-a3<0,a3-a4<0,a4-a5=0,a5-a6>0,a6-a7>0,…等
即在数列{an}中,a4=a5=5+
16
27
是数列的最大项,
所以存在最小的自然数M=6,对一切n∈N*都有an<M成立.
点评:本题考查了平面向量与数列的综合,是一道难题.对于等比数列的通项和求和公式的掌握,数列单调性的充公理解,是解决本题的关键.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

(2009•长宁区二模)已知线性方程组的增广矩阵为
2-11
1-20
,则其线性方程组为
2x-y=1
x-2y=0
2x-y=1
x-2y=0

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2009•长宁区二模)函数f(x)=x+
2
x
(x>0)
的值域
[2
2
,+∞)
[2
2
,+∞)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2009•长宁区二模)设复数z=
3i
(1-i)2
(其中i为虚数单位),则|z|=
3
2
3
2

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2009•长宁区二模)(2x-3)5的二项展开式中第4项的系数为
720
720
.(结果用数字表示)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2009•长宁区二模)已知△ABC的顶点B、C在椭圆
x2
3
+y2=1上,且BC边经过椭圆的一个焦点,顶点A是椭圆的另一个焦点,则△ABC的周长是
4
3
4
3

查看答案和解析>>

同步练习册答案
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柣鎴eГ閸ゅ嫰鏌ら崫銉︽毄濞寸姵鑹鹃埞鎴炲箠闁稿﹥顨嗛幈銊р偓闈涙啞瀹曞弶鎱ㄥ璇蹭壕闂佺粯渚楅崰娑氱不濞戞ǚ妲堟繛鍡樺姈椤忕喖姊绘担鑺ョ《闁革綇绠撻獮蹇涙晸閿燂拷 闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻鐔兼⒒鐎靛壊妲紒鐐礃椤曆囧煘閹达附鍋愰柛娆忣槹閹瑧绱撴担鍝勵€岄柛銊ョ埣瀵濡搁埡鍌氫簽闂佺ǹ鏈粙鎴︻敂閿燂拷