Question

已知二次函数f（x）满足：①当x=2时有极值；②图象与y轴交点的纵坐标为-4，且在该点处的切线与直线4x+y-4=0平行．
（1）求f（-1）的值；
（2）若m∈R，求函数y=F（xlnx+m），x∈[1，e]的最小值；
（3）若曲线y=f（lnx），x∈（1，+∞）上任意一点处的切线的斜率恒大于k³-k-4，求k的取值范围．

Answer 1

解：（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由题意可得：f（0）=-4，∴c=-4 …（1分）
∴f'（x）=2ax+b
∵函数在x=2处有极值，
∴f'（2）=0，即4a=b=0 …（2分）
∵在点（0，-4）处的切线与直线4x+y-4=0平行
∴f'（0）=-4，即b=-4，故a=1…（3分）
∴f（x）=x²-4x-4，f（-1）=1+4-4=1．…（4分）
（2）∵f（x）=x²-4x-4=（x-2）²-8
∴y=f（xlnx+m）=（xlnx+m-2）²-8…（5分）
令t=xlnx
∴当x∈[1，e]时，t'=1+lnx≥1＞0
∴t=xlnx在x∈[1，e]上单调递增，∴0≤t≤e…（6分）
∴y=g（t）=（t+m-2）²-8（0≤t≤e）
函数y=g（t）=（t+m-2）²-8（0≤t≤e）的对称轴为t=2-m．…（7分）
①当2-m≤0，即m≥2时，函数y=g（t）在区间[0，e]单调增，所以y_min=g（0）=（m-2）²-8…（8分）
②当0＜2-m＜e，即2-e＜m＜2时，函数y=g（t）在顶点取得最小值，所以y_min=g（2-m）=-8…（9分）
③当2-m≥e，即m≤2-e时，函数y=g（x）在区间[0，e]单调递减，所以y_min=g（e）=（e+m-2）²-8…（10分）
（3）f（lnx）=（lnx）^2-4lnx-4，令t=lnx，
∵x∈（1，+∞），
∴t＞0，∴f（t）=t²-4t-4，∴f'（t）=2t-4．…（11分）
∵t＞0，∴f'（t）＞-4．…（12分）
由题意得k³-k-4＜f'（t）恒成立，∴k³-k-4≤-4，∴k（k+1）（k-1）≤0，∴k≤-1或0≤k≤1，
∴k的取值范围为k≤-1或0≤k≤1..…（14分）
分析：（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由图象与y轴交点的纵坐标为-4可得：f（0）=-4，，利用在点（0，-4）处的切线与直线4x+y-4=0平行，即可求得函数解析式，从而可求f（-1）的值；
（2）y=f（xlnx+m）=（xlnx+m-2）²-8，令t=xlnx，则问题转化为y=g（t）=（t+m-2）²-8（0≤t≤e）的最小值，求得函数的对称轴，分类讨论可求；
（3）f（lnx）=（lnx）^2-4lnx-4，令t=lnx，问题转化为k³-k-4＜f'（t）恒成立，由此可求k的取值范围．
点评：本题考查函数的解析式，考查函数的单调性，考查恒成立问题，利用换元将问题简化是关键．