(本小题满分12分)已知中心在原点的椭圆的离心率,一条准线方程为
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若以>0)为斜率的直线与椭圆相交于两个不同的点,且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为,求的取值范围。
(1);(2)
解析试题分析:(1)因为椭圆的离心率,一条准线方程为.应用待定系数求得椭圆的标准方程.
(2)假设直线()方程.其中有两个参数.联立椭圆方程.消去即可得一个关于的二次方程.首先由二次方程根的判别式大于零可得一个关于的不等的关系式.其次由韦达定理写出两个根与的关系式.写出线段的中垂线的方程.从而可得中垂线与两坐标轴的截距.再写出垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积,依题意即可得一个关于的等式.由这两步消去.即可得的取值范围.
试题解析:(1)由已知设椭圆的标准方程为, >>0)
由题设得解得 ,
所以椭圆的标准方程为 4分
(2)由题意设直线的方程为 (>0)
由 消去得 ①
设 则,=
线段的中点坐标满足
从而线段的垂直平分线的方程为
此直线与轴,轴的交点坐标分别为、
由题设可得 整理得 (>0) ②
由题意在①中有 >0 整理得>0
将②代入得 >0 (>0),
即 >0, <0,即<0
∴<<4 所以的取值范围是。 12分
考点:1.待定系数求椭圆的方程.2.直线与椭圆的位置关系.3.线段的垂直平分线.4.方程与不等式转化的思想.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
椭圆与双曲线有公共的焦点,过椭圆E的右顶点作任意直线l,设直线l交抛物线于M、N两点,且.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设P是椭圆E上第一象限内的点,点P关于原点O的对称点为A、关于x轴的对称点为Q,线段PQ与x轴相交于点C,点D为CQ的中点,若直线AD与椭圆E的另一个交点为B,试判断直线PA,PB是否相互垂直?并证明你的结论.
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已知点,,动点G满足.
(Ⅰ)求动点G的轨迹的方程;
(Ⅱ)已知过点且与轴不垂直的直线l交(Ⅰ)中的轨迹于P,Q两点.在线段上是否存在点,使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.
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已知椭圆的两个焦点为F1,F2,椭圆上一点M
满足.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线L:y=与椭圆恒有不同交点A,B,且(O为坐标原点),求实数k的范围.
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设椭圆的左、右顶点分别为、,离心率.过该椭圆上任一点P作PQ⊥x轴,垂足为Q,点C在QP的延长线上,且.
(1)求椭圆的方程;
(2)求动点C的轨迹E的方程;
(3)设直线MN过椭圆的右焦点与椭圆相交于M、N两点,且,求直线MN的方程.
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已知两点及,点在以、为焦点的椭圆上,且、、构成等差数列.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)如图,动直线与椭圆有且仅有一个公共点,点是直线上的两点,且,. 求四边形面积的最大值.
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已知圆,若焦点在轴上的椭圆 过点,且其长轴长等于圆的直径.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作两条互相垂直的直线与,与圆交于、两点,交椭圆于另一点,设直线的斜率为,求弦长;
(3)求面积的最大值.
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