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(本小题满分12分)已知中心在原点的椭圆的离心率,一条准线方程为
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若以>0)为斜率的直线与椭圆相交于两个不同的点,且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为,求的取值范围。

(1);(2)

解析试题分析:(1)因为椭圆的离心率,一条准线方程为.应用待定系数求得椭圆的标准方程.
(2)假设直线)方程.其中有两个参数.联立椭圆方程.消去即可得一个关于的二次方程.首先由二次方程根的判别式大于零可得一个关于的不等的关系式.其次由韦达定理写出两个根与的关系式.写出线段的中垂线的方程.从而可得中垂线与两坐标轴的截距.再写出垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积,依题意即可得一个关于的等式.由这两步消去.即可得的取值范围.
试题解析:(1)由已知设椭圆的标准方程为,  >0)
由题设得解得 ,

所以椭圆的标准方程为       4分
(2)由题意设直线的方程为   (>0)
 消去得  ①
  则
线段的中点坐标满足  
  
从而线段的垂直平分线的方程为
此直线与轴,轴的交点坐标分别为
由题设可得 整理得  (>0)  ②
由题意在①中有 >0  整理得>0
将②代入得  >0 (>0),
 即 >0, <0,即<0
<4    所以的取值范围是。     12分
考点:1.待定系数求椭圆的方程.2.直线与椭圆的位置关系.3.线段的垂直平分线.4.方程与不等式转化的思想.

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